Les notions d’énergie spécifique et celle de régime critique, qui en découle, sont essentielles dans l’étude des écoulements à surface libre. En effet, elles permettent de classer les différents types d’écoulement, et de prédéterminer l’allure de la ligne d’eau. Dans un premier temps, on étudiera l’énergie spécifique dans une section puis nous verrons comment elle évolue le long d’un courant.
Les objectifs de ce chapitre sont :
- Définir l’énergie spécifique et connaître comment elle varie en fonction de la profondeur, de la vitesse et du débit.
- Comprendre le concept de profondeurs conjuguées avec l’énergie spécifique et dériver les conditions d’écoulement critique ;
- Calculer la profondeur critique.
3.1 Énergie spécifique
L’énergie spécifique, $E_s$, est la charge moyenne ramenée au fond du canal est exprimée selon Bakhmeteff (1932) comme suit :
3.1.1 Courbe de l’énergie spécifique
Quand l’écoulement est stationnaire dans un canal ouvert, le débit est constant et le graphique $E_s$ en fonction de $y$ est donné dans la figure 3.1. À partir de cette figure, nous observons que :
- La distance d’un point sur l’axe vertical $y$ à la courbe représente l’énergie spécifique pour cette valeur de $y$. La zone entre la ligne $E_s=y$ et la courbe correspond à la charge dynamique (associée à l’énergie cinétique) du liquide et de la partie restante à la pression relative (associée à l’énergie potentielle),
- Si $y\to 0$, $A\to 0$, donc $E_s\to\infty$ ($y=0$ est une asymptote),
- Si $y\to\infty$, $A\to\infty$, donc $E_s\to y\to\infty$,
- Aussi, si $y\to\infty$, $E_s/y\to 1$ ($E_s=y$ est une asymptote),
- L’énergie spécifique atteint une valeur minimale $E_{sc}$ à un point intermédiaire appelé point critique caractérisé par la profondeur critique $y_c$ et la vitesse critique $V_c$. Le minimum de l’énergie spécifique est aussi appelé énergie spécifique critique,
- Pour $E_s<E_{sc}$ : impossible d’évacuer le débit $Q$,
- Une valeur fixée de $y$ (ligne horizontale) correspond à une seule valeur fixée de $E_s$,
- Une valeur fixée de $E_s>E_{sc}$ (ligne verticale) correspond à deux valeurs de $y$ (profondeurs conjuguées avec l’énergie spécifique). Une correspond au régime fluvial et l’autre au régime torrentiel.
En dérivant $E_s$ de l’équation (3.1) par rapport à $y$ pour $Q$ constant on obtient :
Du fait que $\mathrm{d}A/\mathrm{d}y=T$ et $D=A/T$, l’éq. (3.2) devient :
$E_s$ est minimale et est égale à $E_{sc}$ pour $\mathrm{d}E_s/\mathrm{d}y=0$ c’est-à-dire lorsque $F_r=1$ : c’est le régime critique.
Il s’ensuit que pour $E_s>E_{sc}$, le débit $Q$ est écoulé sous deux régimes possibles :
- Fluvial correspondant à $y>y_c$ et $F_r<1$ et caractérisé par un potentiel ($y$) élevé et une cinétique ($V$) faible (partie supérieure de la courbe de la figure 3.1),
- Torrentiel correspondant à $y<y_c$ et $F_r>1$ et caractérisé par un potentiel ($y$) faible et une cinétique ($V$) élevée (partie inférieure de la courbe).
Au régime critique :
On en déduit donc :
Ce qui donne pour :
3.1.2 Courbe de débit
Pour une charge spécifique $E_s$ fixée :
À partir de la courbe $Q(y)$ de la figure 3.2, nous observons que :
- Le graphe est parabolique et admet un maximum pour $y=y_c$,
- Pour $y=0$, $A=0$, $Q=0$,
- Pour $y=E_s$, $Q=0$,
- Le débit est maximal lorsque le régime est critique,
- Pour $Q$ trop grand : impossible de faire transiter ce débit avec l’énergie spécifique $E_s$ considérée.
3.2 Calcul de la profondeur critique
La profondeur critique d’un canal est la profondeur d’eau à laquelle :
- l’énergie spécifique est minimale pour un débit donné (voir Fig. 3.1),
- le débit est maximal pour une énergie spécifique donnée (voir Fig. 3.2).
On observe la profondeur critique, par exemple,
- quand il y a passage d’un écoulement fluvial à un écoulement torrentiel, l’écoulement passe par la profondeur critique (Fig. 3.3a).
- dans la section rétrécie (col) d’un canal Venturi (Fig. 3.3b),
- elle s’installe aussi s’il existe une chute brusque en aval d’un écoulement fluvial (Fig. 3.3c),
- lors du franchissement de la crête d’un déversoir épais à crête horizontale débité librement dans l’atmosphère (Fig. 3.3d).
Figure 3.3 — Quelques exemples d’apparition de la profondeur critique.
Le calcul de la profondeur critique devient important, surtout lors de la détermination des conditions aux limites utilisées dans le calcul des écoulements graduellement variés.
La profondeur critique, $y_c$, peut être calculée par :
- la résolution de la condition critique, $F_r=1$, suivante :
$$ F_r^2=1 \Rightarrow \alpha\frac{Q^2}{g}=\frac{A_c^3}{T_c} \tag{3.9} $$À partir de cette condition on peut trouver les relations représentées dans le tableau 3.1. Les relations obtenues pour les sections trapézoïdales et circulaires peuvent être résolues de manière itérative.
- l’utilisation des relations empiriques (tableau 3.1) pour les sections circulaires et trapézoïdales,
- l’utilisation des graphes pour les sections trapézoïdales (Fig. 3.4) et circulaires (Fig. 3.5).
| Canal | Éq. | Relation de $y_c$ |
|---|---|---|
| Rectangulaire | (3.9) $\Rightarrow$ | $y_c=\left(\alpha\dfrac{Q^2}{b^2 g}\right)^{1/3}$(3.10) |
| Triangulaire | (3.9) $\Rightarrow$ | $y_c=\left(\dfrac{2\alpha Q^2}{g m^2}\right)^{1/5}$(3.11) |
| Trapézoïdal | (3.9) $\Rightarrow$ | $\dfrac{\alpha Q^2}{g}=\dfrac{y_c^3(b+m y_c)^3}{b+2m y_c}$(3.12) |
| de Vatankhah (2013) | $\varepsilon_c=4\left(\dfrac{\alpha m^3 Q^2}{g b^5}\right)^{1/3}$ $t_{c0}=1+1{,}161\varepsilon_c\bigl(1+0{,}666\varepsilon_c^{1{,}041}\bigr)^{0{,}374}$ $\eta_c=-\dfrac12+\dfrac12\left(\dfrac{5 t_{c0}^{0{,}864}+1}{6 t_{c0}^{0{,}720}-\varepsilon_c}\right)^3$ $y_c\approx\eta_c\dfrac{b}{m}$(3.13) |
|
| Circulaire | (3.9) $\Rightarrow$ | $\dfrac{512\alpha Q^2}{g d_0^5}=\dfrac{(\pi\theta_c/90-\sin 2\theta_c)^3}{\sin\theta_c}$ $\theta_c=180-\arccos\left(\dfrac{2y_c}{d_0}-1\right)$, $\theta_c$ en °(3.14) |
| de Straub (1978) | $y_c=\dfrac{1{,}01}{d_0^{0{,}265}}\left(\alpha\dfrac{Q^2}{g}\right)^{0{,}253}$(3.15) |
3.3 Pente critique
La pente critique $S_c$ est la pente pour laquelle un débit donné $Q$ s’écoule en régime uniforme à la profondeur normale critique ($y_n=y_c$). On ne dimensionne jamais un canal avec une pente critique. Le comportement de la ligne d’eau y serait imprévisible. Lors du calcul, deux situations s’apparentent :
- Si l’on cherche la pente critique $S_c$ et que le débit $Q$ est connu, on résout la condition critique donnée par l’éq. (3.9) pour obtenir $y_c$ et l’on déduit, de l’équation de Manning-Strickler, la pente critique :
$$ S_c=\left(\frac{nQ}{A_c R_{hc}^{2/3}}\right)^2 \tag{3.16} $$
- Si l’on cherche le tirant critique $y_c$ et que la pente critique $S_c$ est connue, la résolution itérative de l’équation suivante fournit la solution :
$$ S_c=\frac{g n^2 A_c}{\alpha T R_{hc}^{4/3}} \tag{3.17} $$
